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光槓桿(Optical Lever)原理

2020-06-18



此为一简单的装置,却可有特殊不同之结果。如同只要有一根棍子及一颗石头,即可有如同大力士把重物举起的惊人之举!

首先,只考虑如下图一之图形,而忽略数学的部份:

光槓桿(Optical Lever)原理

图中底端为镜子,虚线为法线。当我们从法线入射一束光线(亮红箭号),即入射角为 $$0^\circ$$,此时反射角亦在法线上(暗红箭号)。

再如下图:

光槓桿(Optical Lever)原理

图二类似上图,此时为斜向入射,入射角为 $$10^\circ$$ 则反射角亦为 $$10^\circ$$。

但如果把两图叠合如图三

光槓桿(Optical Lever)原理

如同仅把图一之镜子顺时针旋转 $$10^\circ$$,其余不变。此时入射角及反射角亦皆为 $$10^\circ$$,且入射角与反射角之间的夹角为 $$20^\circ$$。整理以上之情况:当镜子旋转 $$10^\circ$$ 时,则入射角与反射角之间的夹角为 $$20^\circ$$ 两者相差两倍。由于 $$10^\circ$$ 为我们任意假设,因此可推论在任何角度下亦皆可成立,即:

当镜子旋转 $$\theta$$ 角,则入射角与反射角之间的夹角为($$2\theta$$)角

以上即为光槓桿(Optical Lever)原理。

接下来,我们从严谨的角度来証明光槓桿原理:

由于图形稍嫌複杂,所以我们先依序在各线条上编上编号 -

光槓桿(Optical Lever)原理

图中部份如前面所看到的图形,黑色组为原本镜面/法线组;灰色组为后来的镜面/法线组,两者相差 $$\theta$$ 角。 / 分别为打在黑色镜面上的入射/反射光;   / 5 分别为打在灰色镜面上的入射/反射光。(两者入射光皆为同一条)

在此我们如上想要探讨旋转前后的反射光线之夹角(亦即编号  5 的夹角)。

Ⅰ、因为镜面旋转前后夹 $$\theta$$ 角,又法线各自与镜面夹 $$90^\circ$$ 角,因此 2 及 3 夹 $$\theta$$ 角
Ⅱ、设原镜面上的入射角为 $$\alpha$$ 角,则反射角(2 及  之夹角)亦为 $$\alpha$$ 角
Ⅲ、则灰色镜面组之入射角( 及 3 之夹角)为 $$(\alpha+\theta)$$ 角;反射角(3 及 5 之夹角)亦为 $$(\alpha+\theta)$$ 角。
Ⅳ、此时,我们想要的答案

$$=$$ 旋转前后的反射光线之夹角
$$=$$ 5 的夹角
$$=$$ 图中两红色弧角相减
$$=$$〔弧角(2 5)〕$$-$$ 弧角(2
$$=$$〔弧角(2 3)$$+$$ 弧角(3 5)〕$$-$$ 弧角(2
$$=[(\alpha+\theta)+\theta]-\alpha$$
$$=2\theta$$

由此可知,结果和上述方法一致:

当镜子旋转 $$\theta$$ 角,则入射角与反射角之间的夹角为 $$(2\theta)$$ 角

另外,值得一提的是,有一式子:$$S$$(弧长)$$=r$$(半径)$$\times\theta$$(夹角)
因此当我们把距离 $$(r)$$ 拉远,再配上光槓桿原理,便可轻易测出微小的弧长变化。

此原理虽然简单,却在光学等其余地方皆有广泛的应用。以下简单列举二项有名的例子 -卡文迪西(Henry Cavendish, 1731-1810)实验、原子力显微镜(Atomic Force Microscope,AFM)

卡文迪西(Henry Cavendish, 1731-1810)实验

光槓桿(Optical Lever)原理

如图。此实验利用到扭摆装置;由于球与球之间受万有引力吸引而使中间的扭线受到扭转,再利用光槓桿原理〔注一〕,因此就算小角度也可量测出微小之万有引力常数 $$(G=6.67\times 10^{-11}~N\cdot m^2/kg^2)$$。

另外值得一提的是-现今重作此实验当然会选用直準性高的电射当作光源。但在 18 世纪的当时,卡文迪西在没有雷射光源的情况下完成此实验是值得令人敬佩的。

注一:雷射光源打在固定在扭线上的小面镜子,因光槓桿原理使得反射光线的偏转角度会放大两倍,以利于测量。

原子力显微镜(Atomic Force Microscope,AFM)

此仪器(图一),可看到物质表面的结构,其示意图如图二(详细原理由于篇幅故略)。图三、图四为实际侦测所扫描出来之图片。唯图四下半部另有经电脑模拟而得到之3D立体图形。

光槓桿(Optical Lever)原理

光槓桿(Optical Lever)原理

图二、图三:慈济大学医学系 刘哲文教授提供

图四:Liou et al. 2002. Biochemistry. 41:8535-9.



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